反比例函数

一次函数里，$x$ 每加 1，$y$ 加固定的量——所以是直线。

反比例函数里，$x$ 每加 1，$y$ 加的量越来越小，因为要维持乘积等于 $k$。于是曲线越来越平，永远靠近坐标轴，却永远碰不到。

这条永远碰不到轴的线，叫渐近线。它是「无限接近但不相交」这件事第一次出现在中学数学里。

• $k>0$：两支在第一、三象限，每一支上 $y$ 随 $x$ 增大而减小；
• $k<0$：两支在第二、四象限，每一支上 $y$ 随 $x$ 增大而增大；
• 图象上任一点 $P(x,y)$，有 $|xy|=|k|$，即矩形面积为 $|k|$。

设 $P(x_0,y_0)$ 在 $y=\dfrac{k}{x}$ 上，过 $P$ 向两轴作垂线，得矩形。

长是 $|x_0|$，宽是 $|y_0|$，面积 $=|x_0 y_0|=|k|$。

换了 $P$ 的位置，$x_0$、$y_0$ 都变，但乘积不变——所以面积恒定。这条结论每年中考都考，而它只有一行证明。

「每一支上 $y$ 随 $x$ 增大而减小」不等于「整个定义域上递减」。$y=\dfrac{1}{x}$ 中，$x=-1$ 时 $y=-1$，$x=1$ 时 $y=1$：$x$ 增大，$y$ 反而增大。递减只在同一支上成立，跨支谈增减性是错的。

1. $y=\dfrac{-6}{x}$ 的图象在哪几个象限？

2. 点 $(2,3)$ 在 $y=\dfrac{k}{x}$ 上，$k$ 是多少？点 $(-1, ?)$ 在这条曲线上时，$?$ 是多少？

3. 过双曲线上一点作坐标轴垂线，围成的矩形面积是 8，$|k|$ 是多少？

4. 为什么 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象永远不会与坐标轴相交？