配方法

$x^2=9$ 你会解，$x=3$ 或 $-3$。$x^2+6x=7$ 你就不会了。

差别在哪？左边不是一个平方。

所以配方法的全部动机只有一句话：把左边强行改造成一个平方，让题目变成你会做的样子。

这也是整个代数最常用的一招——把不会的形式，变成会的形式。

一般情形：$ax^2+bx+c=0\ (a\neq 0)$

1. 两边除以 $a$：$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$
2. 移项：$x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}$
3. 两边加 $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$：

这一步直接导出了求根公式。

解 $x^2+6x-7=0$：

第一步，移常数：$x^2+6x=7$

第二步，两边加上一次项系数一半的平方：一次项系数是 $6$，一半是 $3$，平方是 $9$。

第三步，左边写成平方：

于是 $x+3=\pm 4$，得 $x_1=1$，$x_2=-7$。

验算：$1+6-7=0$ ✓，$49-42-7=0$ ✓。

「加一半的平方」只加在左边就错了。 等式两边必须同时加，否则方程不再成立。

另一个常见错误是加错对象：加的是「一次项系数一半的平方」，不是「一次项系数的平方」。$x^2+6x$ 要加 $9$，不是 $36$。